José Ferreirós

Editores José Ferreirós Domínguez; Abel Lassalle Casanave (Univ Federal da Bahía, Brasil).
En las últimas dos décadas se ha asistido a una serie de innovaciones en el análisis del conocimiento matemático. Por un lado, han aparecido contribuciones notables desde la neurociencia y las ciencias cognitivas, por otro lado, se ha prestado creciente atención a la práctica matemática desde perspectivas filosóficas e históricas. El libro que el lector tiene en sus manos reúne una serie de trabajos que discuten las innovaciones mencionadas, incluyendo temáticas que se exponen por primera vez en nuestro idioma. Sus autores vienen colaborando desde hace años, en conexión con los Coloquios Cono Sur de Filosofía de las Ciencias Formales y con la Association for the Philosophy of Mathematical Practice (APMP), de la que son miembros fundadores ambos editores.
Los trabajos de la Parte I examinan diversos aspectos de la poderosa corriente reciente de estudios sobre la cognición matemática y sus bases neurológicas. En la Parte II se examinan diferentes aspectos relacionados con las aportaciones de cuño lógico-matemático de Frege, Dedekind, Peano, Rusell & Whitehead, y Godel a la teoría de números y su aclaración filosófica. Los trabajos de la Parte III giran en torno del problema de la certeza del conocimiento aritmético desde la perspectiva de la práctica matemática.

This book presents a new approach to the epistemology of mathematics by viewing mathematics as a human activity whose knowledge is intimately linked with practice. The crucial idea of a continuum is used to provide an account of the development of mathematical knowledge that reflects the actual experience of doing math and makes sense of the perceived objectivity of mathematical results.

An analysis of both works, published in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, ed. I. Grattan-Guinness (Elsevier, Amsterdam, 2005), chapter 47, pp. 613–626.
Full title: “R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), G. Peano, Arithmetices principia, nova methoda exposita (1889)”

Uno de los problemas más debatidos en Filosofía de las Matemáticas es la espinosa cuestión del significado y alcance de las afirmaciones de existencia que se realizan en el contexto de la matemática moderna. El debate sobre las nociones de 'existencia' y 'verdad' fue central en la famosa crisis de fundamentos que se desarrolló en los años 1920 y 1930, y el desacuerdo respecto a dichas nociones -asociado a fuertes diferencias metodológicas- es quizá la clave para entender el cisma entre los matemáticos 'modernos' y los constructivistas. Aunque no ignoro en absoluto que dicho cisma sigue abierto, en la medida en que algunos grandes matemáticos siguen siendo proclives al constructivismo, centraré mi atención en la noción de existencia propia de la matemática moderna, hilbertiana, para presentar algunas ideas sobre la conexión que parece darse, en la práctica matemática, entre afirmaciones de existencia consideradas legítimas y representaciones cognitivas adecuadas. Comenzaremos con algunas aclaraciones relativas a la noción de existencia hilbertiana, seguidas de consideraciones sobre la fuente de las estimaciones de consistencia que se hacen respecto a las teorías de la matemática moderna. Después discutiremos el papel de la comprensión conceptual como base para tales estimaciones, y el lugar que les corresponde a las representaciones en este contexto. El caso principal en el que centraré mi atención es la representación del universo conjuntista que se toma como base en la llamada concepción iterativa de los conjuntos. La importancia de este caso es que a menudo la concepción iterativa se presenta como el trasfondo intuitivo de los axiomas habituales para la teoría de conjuntos.

ABSTRACT: We discuss critically some recent theses about geometric cognition, namely claims of universality made by Dehaene et al., and the idea of a "natural geometry" employed by Spelke. We offer arguments for the need to distinguish visuo-spatial cognition from basic geometric knowledge; furthermore, we claim that the latter cannot be identified with Euclidean geometry. The main aim of this paper is to advance toward a characterization of basic geometry, which in our view requires a combination of experiments on visuo-spatial cognition with studies in cognitive archaeology and comparative history. Examples from these fields are given, with special emphasis on the comparison of ancient Chinese and ancient Greek geometric ideas and procedures.

Abstract -- We formulate and discuss a " great antinomy " between theoreticist/ foundationist conceptions and pragmatist conceptions, in relation to a wide diversity of scientific and/or philosophical approaches. The contrast is illustrated in particular with the concept of time, considering the 'timelessness crowd' that has been guided by a theoreticist vision.

Starting about 1887, Richard Dedekind expressed his conviction that the concept of an Abbildung (representation, mapping) is not only absolutely indispensable for pure mathematics, but is the unique foundation of arithmetic, algebra, and analysis. Notice that, at his time, pure mathematics was under the sign of number in the sense of so-called arithmetization. In this paper we consider some of Dedekind's contributions around the year 1890, to show how he explored and developed that innovative idea in a number of directions. Not only did he present a careful analysis of the foundations of the natural-number structure based on maps and map-theoretic notions, but he went on to show how central structures of analysis and algebra could be obtained by relying directly on mappings. While his new reections about the continuum remained unpublished and did not inuence subsequent developments, his relevant algebraic work was published in the famous XIth Supplement to Dirichlet's Vorlesungen and-many years later-became a landmark of modern algebra.

Reproduzco a continuación las Notas preparadas para el curso 2002/03 que impartí en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Sevilla. Quiero dar las gracias a los alumnos de Sevilla, que recibieron mis clases y me estimularon con sus dudas y sus preguntas. En algún momento tuve intención de preparar un manual introductorio sobre la base de estos apuntes, pero en este momento prefiero darlos a conocer tal cual están, pues dudo que encuentre el tiempo y las ganas para revisarlos y desarrollarlos. Ojalá sirvan para introducir a los lectores interesados en este campo. El enfoque que he seguido se aleja un tanto de los que son más habituales. En aquel año de 2002 decidí organizar mis explicaciones de manera temática y suprimir intencionalmente la exposición según escuelas en orden cronológico. Pero, a la vez, los temas elegidos reflejaban mis propias preferencias, de manera que el lector puede echar en falta ciertas temáticas que otros priorizan: tal ausencia es, como digo, intencional.

The question of the semantic interpretation of higher-order logics has long been a matter of contention. Even though second-order quantification is quite natural, entangled interpretations have famously caused philosophers of logic such as Quine to reject second-order logic completely. In this paper I take a liberal attitude, open to maximizing the scope of logic, but careful to avoid conflation with other disciplines – and to avoid epistemological confusion. Higher-order logic (HOL) is perfectly acceptable, but one should be careful as to which semantics deserves to be called " standard ".

The celebrated “creation” of transfinite set theory by Georg Cantor has been studied in detail by historians of mathematics. However, it has generally been overlooked that his research program cannot be adequately explained as an outgrowth of the mainstream mathematics of his ...

The celebrated “creation” of transfinite set theory by Georg Cantor has been studied in detail by historians of mathematics. However, it has generally been overlooked that his research program cannot be adequately explained as an outgrowth of the mainstream mathematics of his day. We review the main extra-mathematical motivations behind Cantor’s very novel research, giving particular attention to a key contribution, the Grundlagen of 1883, where those motives are articulated in some detail. Evidence from other publications and correspondence is pulled out to provide clarification and a detailed interpretation of those ideas and their impact upon Cantor’s research. Throughout the paper, a special effort is made to place Cantor’s scientific undertakings within the context of developments in German science and philosophy at the time (philosophers such as Trendelenburg and Lotze, scientists like Weber, Riemann, Vogt, Haeckel), and to reflect on the German intellectual atmosphere during the 19th century.

David Hilbert’s early foundational views, especially those corresponding to the 1890s, are analysed here. I consider strong evidence for the fact that Hilbert was a logicist at that time, following upon Dedekind’s footsteps in his understanding of pure mathematics. This insight makes it possible to throw new light on the shape and evolution of Hilbert’s foundational ideas, including his early contributions to the foundations of geometry and the real number system. Most interestingly, the context of Dedekind-style logicism makes it possible to offer a new analysis of the emergence of Hilbert’s famous ideas on mathematical existence. And a careful scrutiny of his published and unpublished work around the turn of the century uncovers deep differences between his ideas about consistency proofs before and after 1904. Along the way, we cover topics such as the role of sets (and of the dichotomic conception of set theory) in Hilbert’s early axiomatics, and detailed analyses of Hilbert’s paradox and of his completeness axiom (Vollständigkeitsaxiom).

¿Hubo una crisis en la matemática del siglo XX? Algunos desarrollos de la ciencia en el siglo XX han alcanzado una gran repercusión pública, al menos entre el público ilustrado. Es el caso de las revoluciones de la física (teorías de la relatividad y teorías cuánticas), es el caso de la biología molecular, la genética y sus aplicaciones (estructura del ADN, ingeniería genética), y es el caso también de la célebre crisis de fundamentos en matemáticas, durante el primer tercio del siglo XX. La historia popular de este último episodio habla del esfuerzo y los sufrimientos de unos pocos por introducir rigor lógico en matemáticas, y por investigar lo infinito bajo la forma de la teoría de conjuntos; de la dramática aparición hacia 1900 de las paradojas lógicas o conjuntistas, que pusieron en tela de juicio el objetivo apenas logrado; y de la subsiguiente confusión y lucha de escuelas, aparentemente irreconciliables, en la búsqueda de soluciones a la crisis. El fenómeno resultó sorprendente y casi hipnótico para quienes tuvieron noticia de él, ya que en la matemática, considerada antes paradigma de certeza, evidencia y acuerdo, se abría la caja de Pandora y aparecían dudas, inseguridades, desacuerdos, incertidumbres. Todo un modelo del cambio en la concepción del conocimiento que ha tenido lugar en el siglo XX, de la emergencia de concepciones falibilistas, del sentimiento de pérdida de la certidumbre que se ha instalado en la conciencia de los matemáticos y científicos más reflexivos.